1. ΓΕΝΙΚΑ
Και εδώ , απαιτούνται τουλάχιστον δύο σημεία γνωστών συντεταγμένων και στα δύο συστήματα ( π.χ. ΧΨ και ΕΝ ) . Αυτό που αλλάζει , είναι η δημιουργία τεσσάρων γραμμικών εξισώσεων με άγνωστους τέσσερις παραμέτρους ( α , β , ΤΕ και ΤΝ ) .
Στη συνέχεια θα υπολογίζονται οι συντεταγμένες Ε και Ν , για κάθε νέο σημείο Χ και Ψ .
2. ΠΩΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ
Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων π.χ. 1 και 2 ( Χ1 , Ψ1 , Χ2 , Ψ2 ) . Με την προσαρμογή κλίμακας κ , γίνονται :
Χ'1 = κ * Χ1
Ψ'1 = κ * Ψ1
Χ'2 = κ * Χ2
Ψ'2 = κ * Ψ2
Συνεχίζουμε με εφαρμογή των σχέσεων , που αφορούν τη στροφή θ των συστημάτων και έχουμε :
Ε'1 = κ * Χ1 * συν θ - κ * Ψ1 * ημ θ
Ν'1 = κ * Χ1 * ημ θ + κ * Ψ1 * συν θ
Ε'2 = κ * Χ2 * συν θ - κ * Ψ2 * ημ θ
Ν'2 = κ * Χ2 * ημ θ + κ * Ψ2 * συν θ
Αν προσθέσουμε τη μετάθεση του συστήματος κατά ΤΕ και ΤΝ , οι σχέσεις γίνονται :
Ε1 = κ * Χ1 * συν θ - κ * Ψ1 * ημ θ + ΤΕ
Ν1 = κ * Χ1 * ημ θ + κ * Ψ1 * συν θ + ΤΝ
Ε2 = κ * Χ2 * συν θ - κ * Ψ2 * ημ θ + ΤΕ
Ν2 = κ * Χ2 * ημ θ + κ * Ψ2 * συν θ + ΤΝ
Αντικαθιστούμε με α = κ * συν θ , β = κ * ημ θ και οι σχέσεις γίνονται :
|
Ε1 = α * Χ1 - β * Ψ1 + ΤΕ
Ν1 = β * Χ1 + α * Ψ1 + ΤΝ Ε2 = α * Χ2 - β * Ψ2 + ΤΕ Ν2 = β * Χ2 + α * Ψ2 + ΤΝ |
( 1 ) |
Ανακατασκευάζω το σύστημα για εφαρμογή πίνακα :
|
Χ1 * α - Ψ1 * β + ΤΕ = Ε1
Ψ1 * α + Χ1 * β + ΤΝ = Ν1 Χ2 * α - Ψ2 * β + ΤΕ = Ε2 Ψ2 * α + Χ2 * β + ΤΝ = Ν2 |
( 2 ) |
Από τις παραπάνω 4 εξισώσεις , είναι γνωστές οι συντεταγμένες των σημείων 1 , 2 και στα δύο συστήματα ( Χ1 , Ψ1 , Χ2 , Ψ2 , Ε1 , Ν1 , Ε2 , Ν2 ) και υπολογίζονται οι 4 παράμετροι : α , β , ΤΕ και ΤΝ .
3. ΠΩΣ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΑ ΝΕΑ ΣΗΜΕΙΑ
Είμαστε πλέον σε θέση , να υπολογίζουμε οποιοδήποτε νέο σημείο ( π.χ. σημείο 3 με γνωστές συντεταγμένες : Χ3 , Ψ3 ) στο σύστημα ΕΝ ( Ε3 , Ν3 ) . Θα εφαρμόζουμε τους τύπους :
|
Ε3 = α * Χ3 - β * Ψ3 + ΤΕ
Ν3 = β * Χ3 + α * Ψ3 + ΤΝ |
( 3 ) |
4. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Εισαγάγουμε τις συντεταγμένες των κοινών σημείων όπως φαίνονται στην προηγούμενη εικόνα , στις σχέσεις ( 2 ) :
|
Χ1 * α - Ψ1 * β + ΤΕ = Ε1
Ψ1 * α + Χ1 * β + ΤΝ = Ν1 Χ2 * α - Ψ2 * β + ΤΕ = Ε2 Ψ2 * α + Χ2 * β + ΤΝ = Ν2 |
⇒ |
|
2α - 2β + ΤΕ = -2
2α + 2β + ΤΝ = -2 -2α - 5β + ΤΕ = -6 5α - 2β + ΤΝ = 1 |
Ακολουθεί η λύση του συστήματος :
Τέλος , με εφαρμογή των τύπων ( 3 ) , θα υπολογίσουμε π.χ. τις συντεταγμένες του σημείου 3 στο ΕΝ σύστημα :
Ε3 = α * Χ3 - β * Ψ3 + ΤΕ ⇒
Ε3 = 1 * 3 - 0 * ( -2 ) + ( -4 ) ⇒
Ε3 = 3 - 0 - 4 ⇒
| Ε3 = -1 |
Ν3 = β * Χ3 + α * Ψ3 + ΤΝ ⇒
N3 = 0 * 3 + 1 * ( -2 ) + ( -4 ) ⇒
N3 = 0 - 2 - 4 ⇒
| N3 = -6 |
5. ΣΥΝΟΨΗ
Με γνωστές τις συντεταγμένες 2 σημείων και στα δύο συστήματα , εφαρμόζουμε τις σχέσεις 2 από τις οποίες υπολογίζονται οι συντελεστές α , β , ΤΕ , ΤΝ .
Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τις σχέσεις 3 , για τον υπολογισμό της θέσης κάθε νέου σημείου στο σύστημα , το οποίο θέλουμε να πάμε .