1. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
Τα Ελάχιστα Τετράγωνα είναι μια μέθοδος για τη διευθέτηση παρατηρήσεων ( μετρήσεων ) , οι οποίες περιέχουν τυχαία σφάλματα .
Η ανακάλυψη των ηλεκτρονικών υπολογιστών , έκανε τη διαδικασία των μεγάλων μαθηματικών πράξεων πιο απλή , με συνέπεια να είναι πιο συχνή η χρήση τους .
2. ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Σε ένα μεγάλο σύστημα , αποτελούμενο από μεγάλο αριθμό εξισώσεων και το οποίο είναι ίσο με τον αριθμό των αγνώστων , μπορεί να γίνει εφαρμογή της μεθόδου για τον προσδιορισμό των τιμών τους .
'Οταν οι εξισώσεις είναι περισσότερες από τους αγνώστους , η μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων γίνεται χρησιμότερη .
Υπολογίζονται εκτός από τις πιο πιθανές τιμές των αγνώστων και οι τιμές των αντίστοιχων σφαλμάτων . Γενικά αποκαλύπτεται η παρουσία μεγάλων σφαλμάτων , που σημαίνει εσφαλμένες μετρήσεις .
3. ΙΣΟΒΑΡΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ
Για ισοβαρείς παρατηρήσεις ( μετρήσεις που γίνονται με ίδιο όργανο , ίδιο παρατηρητή και ίδιες εξωτερικές συνθήκες ) , η θεμελιώδης συνθήκη λέει ότι " το άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων είναι ελάχιστο " και εκφράζεται με τον τύπο :
|
Σ( νι ) ² = ( ν1 ) ² + ( ν2 ) ² + ( ν3 ) ² +...+ ( νμ ) ² = ελάχιστο ι = 1 , 2 , 3 ... μ ν1 , ν2 , ν3 ... νμ = σφάλματα Σ ( νι ) ² = το άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων |
Εκτός από την απόδοση των πιο πιθανών τιμών για τους αγνώστους , η διευθέτηση με τα Ελάχιστα Τετράγωνα , αποκαλύπτει την παρουσία μεγάλων σφαλμάτων , έτσι ώστε να ληφθούν τα κατάλληλα βήματα για την εξάλειψή τους .
4. ΑΝΙΣΟΒΑΡΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ
Για ανισοβαρείς παρατηρήσεις ( χρήση διαφορετικών οργάνων , άλλοι παρατηρητές , διαφορετικές συνθήκες μετρήσεων ) , μπαίνει η έννοια του Βάρους των αντιστοίχων μετρήσεων και εκφράζεται με τον τύπο :
|
β ( ι ) = 1 / δ ( ι ) ² β ( ι ) = βάρος της αντίστοιχης παρατηρούμενης ποσότητας δ ( ι ) ² = είναι η τυπική απόκλιση ( δείτε
σφαλματα μετρήσεων
Μετάβαση σε ιστοσελίδα των Τοπογραφικών Θεμάτων
)
|
H θεμελιώδης συνθήκη , σ' αυτήν την περίπτωση γράφεται ως εξής :
|
Σ β ( ι ) * ( νι ) ² = β ( 1 ) * ( ν1 ) ² + β ( 2 ) * ( ν2 ) ² + + β ( 3 ) * ( ν3 ) ² + ... + β ( μ ) * ( νμ ) ² = ελάχ. |
5. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΙΣΟΒΑΡΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ
Ένας παρατηρητής μέτρησε επί εδάφους με μετροταινία , τις αποστάσεις ΑΒ = 3.5 μ , ΒΓ = 3.4 μ και ΑΓ = 7.0 μ . Όπως φαίνεται από το σχήμα , έχω τρεις εξισώσεις με δύο αγνώστους , χ και ψ .
χ + ψ = 7.0
χ = 3.5
ψ = 3.4
Είναι φανερό ότι οι μετρήσεις περιέχουν σφάλματα . Έτσι οι εξισώσεις μπορούν να ξαναγραφτούν , προσθέτωντας στην κάθε μία , τρία διαφορετικά υπολειμματικά σφάλματα .
χ + ψ = 7.0 + ν1
χ = 3.5 + ν2
ψ = 3.4 + ν3
Λύνω τις εξισώσεις ως προς τα σφάλματα ν1 , ν2 και ν3 και έχω :
ν1 = χ + ψ - 7.0
ν2 = χ - 3.5
ν3 = ψ - 3.4
Σύμφωνα με τη θεμελιώδη συνθήκη των Ελαχίστων Τετραγώνων , τα σφάλματα τετραγωνίζονται και προσθέτονται :
Σ ( νι ) ² = ( ν1 ) ² + ( ν2 ) ² + ( ν3 ) ² ⇒
Σ ( νι ) ² = ( χ + ψ - 7.0 ) ² + ( χ - 3.5 ) ² + ( ψ - 3.4 ) ²
Η παραπάνω συνάρτηση ελαχιστοποιείται , παίρνωντας τις Μερικές Παραγώγους των αντίστοιχων αγνώστων και θέτωντας τις ίσες με μηδέν .
∂ Σ ( νι ) ² / ∂ χ = 0 ⇒ ( χ + ψ - 7.0 ) ² + ( χ - 3.5 ) ² + ( ψ - 3.4 ) ² = 0
∂ Σ ( νι ) ² / ∂ ψ = 0 ⇒ ( χ + ψ - 7.0 ) ² + ( χ - 3.5 ) ² + ( ψ - 3.4 ) ² = 0
( έχω τις κανονικές εξισώσεις )
∂ Σ ( νι ) ² / ∂ χ = 0 ⇒ 2 * ( χ + ψ - 7.0 ) + 2 * ( χ - 3.5 ) = 0
∂ Σ ( νι ) ² / ∂ ψ = 0 ⇒ 2 * ( χ + ψ - 7.0 ) + 2 * ( ψ - 3.4 ) = 0
2 χ + 2 ψ - 14 + 2 χ - 7 = 0
2 χ + 2 ψ - 14 + 2 ψ - 6.8 = 0
4 χ + 2 ψ - 21 = 0
2 χ + 4 ψ - 20.8 = 0
4 χ + 2 ψ = 21
2 χ + 4 ψ = 20.8
( δια 2 ο κάθε όρος των εξισώσεων )
2 χ + ψ = 10.5
χ + 2 ψ = 10.4
( λύνω το σύστημα των 2 τελευταίων εξισώσεων και έχω )
χ + 2 ψ = 10.4 ⇒
χ = 10.4 - 2 ψ
2 χ + ψ = 10.5 ⇒
2 * ( 10.4 - 2 ψ ) + ψ = 10.5 ⇒
20.8 - 4 ψ + ψ = 10.5 ⇒
- 3 ψ = - 10.3 ⇒
| ψ = 3.433 |
χ = 10.4 - 2 ψ ⇒
χ = 10.4 - 2 * 3.4333 ⇒
χ = 10.4 - 6.867 ⇒
| χ = 3.533 |
Σύμφωνα με τη θεωρία των πιθανοτήτων , οι τιμές χ και ψ που υπολογίστηκαν είναι οι πιο πιθανές .
'Eχοντας τις πιο πιθανές τιμές , μπορούν να υπολογιστούν τα αντίστοιχα σφάλματα , με αντικατάσταση στις παρακάτω εξισώσεις ( ξαναγράφω ) :
|
ν1 = χ + ψ - 7.0 = 3.533 + 3.433 - 7 = - 0.033 ν2 = χ - 3.5 = 3.533 - 3.5 = + 0.033 ν3 = ψ - 3.4 = 3.433 - 3.4 = + 0.033 |
Το παράδειγμα είναι απλό , και δείχνει πώς χρησιμοποιείται η μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων χωρίς πολύπλοκες μαθηματικές πράξεις .
6. ΣΥΣΤΗΜΑTA ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
Με τον ίδιο τρόπο γίνεται η εφαρμογή της , σε μεγάλα συστήματα εξισώσεων .
Σ' αυτή την περίπτωση είναι προτιμότερη η τυποποίηση της όλης διαδικασίας , με τη χρήση πίνακα και το σχηματισμό των αντίστοιχων κανονικών εξισώσεων . Η όλη διαδικασία στηρίζεται σε σύστημα εξισώσεων με αυτήν τη μορφή :
|
α1Α + β1Β + γ1Γ +...+ μ1Μ - Κ1 = ν1 α2Α + β2Β + γ2Γ +...+ μ2Μ - Κ2 = ν2 ............. αιΑ + βιΒ + γιΓ +...+ μιΜ - Κι = νι , α1 , β1 , γ1 ... = Συντελεστές Α , Β , Γ ... = 'Aγνωστοι Κ1 , Κ2 , Κ3 ... = Σταθερές ν1 , ν2 , ν3 ... = Σφάλματα |
Τετραγωνίζοντας τα σφάλματα και προσθέτωντας αυτά , σχηματίζεται η συνάρτηση Σ ( νι ) ² .
Στη συνέχεια παίρνωντας τις Μερικές Παραγώγους σε σχέση με τον κάθε άγνωστο Α , Β , Γ ... , έχω τις κανονικές εξισώσεις . Με την επεξεργασία αυτών , καταλήγω στο γενικό σύστημα που εκφράζει τις κανονικές εξισώσεις :
|
[ αα ] Α + [ αβ ] Β + [ αγ ] Γ + ... + [ αμ ] Μ = [ αΚ ] [ βα ] Α + [ ββ ] Β + [ βγ ] Γ + ... + [ βμ ] Μ = [ βΚ ] [ γα ] Α + [ γβ ] Β + [ γγ ] Γ + ... + [ γμ ] Μ = [ γΚ ] ............. [ μα ] Α + [ μβ ] Β + [ μγ ] Γ + ... + [ μμ ] Μ = [ μΚ ] , [ ] = σύμβολα που σημαίνουν άθροισμα του περιεχομένου τους |
Στο παράδειγμά μου , οι εξισώσεις έχουν τη μορφή :
|
α * χ + β * ψ = Κ , α , β = συντελεστές χ , ψ = άγνωστοι ( αντί Α , Β ) Κ = σταθερά |
Ο πίνακας που δημιουργείται είναι :
| ΑΡ.ΕΞΙΣ. | α | β | Κ | αα | αβ | ββ | αΚ | βΚ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 7.0 | 1 | 1 | 1 | 7.0 | 7.0 |
| 2 | 1 | 0 | 3.5 | 1 | 0 | 0 | 3.5 | 0 |
| 3 | 0 | 1 | 3.4 | 0 | 0 | 1 | 0 | 3.4 |
| 2 | 1 | 2 | 10.5 | 10.4 | ||||
| [ αα ] | [ αβ ] | [ ββ ] | [ αΚ ] | [ βΚ ] |
|
ΑΡ.ΕΞΙΣ. = Ο αντίστοιχος αριθμός της εξίσωσης α , β = οι αντίστοιχοι συντελεστές των χ , ψ Κ = Σταθερά αα = πολλαπλασιασμός του α με τον α αβ = πολλαπλασιασμός του α με το β ββ = πολλαπλασιασμός του β με το β αΚ = πολλαπλασιασμός του α με τον Κ βΚ = πολλαπλασιασμός του β με τον Κ [ αα ] = το άθροισμα της στήλης αα [ αβ ] = το άθροισμα της στήλης αβ [ ββ ] = το άθροισμα της στήλης ββ [ αΚ ] = το άθροισμα της στήλης αΚ [ βΚ ] = το άθροισμα της στήλης βΚ |
Έτσι καταλήγω στις αντίστοιχες κανονικές εξισώσεις :
[ αα ] χ + [ αβ ] ψ = [ αΚ ] ⇒
[ αβ ] χ + [ ββ ] ψ = [ βΚ ] ⇒
2 χ + ψ = 10.5
χ + 2 ψ = 10.4
7. ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 1ης ΤΑΞΕΩΣ
Πώς χρησιμοποιώ τη Μερική Παράγωγο 1ης τάξεως :
Παράδειγμα :
Η συνάρτησή μου είναι :
| f ( χ , ψ ) = χ ² + χ ψ + ψ ² |
Η παράγωγός της ως προς χ , δίνει :
| ∂ f / ∂ χ = 2 χ + χ ψ + 2 ψ = 2 χ + ψ + 0 = 2 χ + ψ |
Η παράγωγός της ως προς ψ , δίνει :
| ∂ f / ∂ ψ = 2 χ + χ ψ + 2 ψ = 0 + χ + 2 ψ = χ + 2 ψ |