ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΕΙΔΙΚΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ

1. ΓΕΝΙΚΑ

Μερικές φορές θέλουμε να μετρήσουμε μια απόσταση ΑΒ , αλλά φυσικά εμπόδια όπως : ποτάμια , λίμνες κ.ά. δυσχεραίνουν το έργο μας . Θα αναλύσουμε τους τρόπους , για τη λύση τέτοιων θεμάτων .

2. ΜΙΚΡΗ ΑΔΙΑΒΑΤΗ ΛΙΜΝΗ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ Α ΚΑΙ Β

1ος ΤΡΟΠΟΣ

Θα φέρουμε καθέτους στα σημεία Α και Β , έτσι ώστε ΑΑ' = ΒΒ' .

Αντί να μετρήσουμε την ΑΒ , θα μετρήσουμε την Α'Β' .

2ος ΤΡΟΠΟΣ

Θα μετρήσουμε στο εδάφος τις γωνίες θ , ω και την πλευρά ΒΓ .

Στη συνέχεια θα εφαρμόσουμε το Νόμο των Ημιτόνων ( η εργασία μπορεί να γίνει και με το

Νόμο των Συνημιτόνων Μετάβαση σε ιστοσελίδα των Τοπογραφικών Θεμάτων

) .

ΑΒ / ΒΓ = ημω / ημθ ⇒ ΑΒ = ΒΓ * ημω / ημθ

3. ΛΟΦΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ Α ΚΑΙ Β

1ος ΤΡΟΠΟΣ

Θα χαράξουμε τυχαία ευθυγραμμία Α'Β' .

Από τα σημεία Α και Β θα φέρουμε προς την ευθυγραμμία Α'Β' τις καθέτους , ΑΑ' & ΒΒ' .

'Εχοντας υπόψιν μας το Πυθαγόρειο Θεώρημα , θα μετρήσουμε τις αποστάσεις ΑΑ' , ΒΒ' και Α'Β' . Ισχύει :

ΑΒ = √ ( Α'Β' ² + ( ΑΑ' - ΒΒ' ) ² )

2ος ΤΡΟΠΟΣ

Παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο Κ στο έδαφος , έτσι ώστε να είναι ορατά τα σημεία Α και Β απ' αυτό .

Θα μετρήσουμε τις αποστάσεις ΑΚ , ΒΚ και την ενδιάμεση γωνία ω (

Νόμο των Συνημιτόνων Μετάβαση σε ιστοσελίδα των Τοπογραφικών Θεμάτων

) . Ισχύει :

ΑΒ = √ ( ΑΚ ² + ΒΚ ² - ( 2 * ΑΚ * ΒΚ * συν ω ) )

4. ΠΟΤΑΜΙ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ Α ΚΑΙ Β

1ος ΤΡΟΠΟΣ

Στο σημείο Β θα φέρουμε κάθετο στην ΑΒ , έστω ΒΓ .

Στο σημείο Γ θα φέρουμε κάθετο στη ΒΓ , έστω ΓΔ .

Τα σημεία Γ και Δ επιλέγονται σε τυχαίες θέσεις .

Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΕΓΔ είναι όμοια . Ισχύει :

ΑΒ / ΓΔ = ΒΕ / ΕΓ ⇒ ΑΒ = ΓΔ * ΒΕ / ΕΓ

2ος ΤΡΟΠΟΣ

Θα πάρουμε από την πλευρά που είναι το Β , τυχαίο σημείο Γ .

Θα μετρήσουμε τις γωνίες ω , θ και την απόσταση ΒΓ . Ισχύει :

ΑΒ = ΒΓ * ημ ω / ημ ω + θ

5. ΤΑ ΣΗΜΕΙΑ Α ΚΑΙ Β ΣΤΗ ΜΙΑ ΟΧΘΗ ΤΟΥ ΠΟΤΑΜΟΥ

1ος ΤΡΟΠΟΣ

Σκοπός μας είναι , να υπολογίσουμε τις αποστάσεις ΑΑ' , ΒΒ' και να εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα .

Θα χαράξουμε την ευθυγραμμία ΧΧ' από την πλευρά που δουλεύουμε . Εννοείται ότι τα σημεία Α και Β είναι ορατά και καλά επισημασμένα .

Από τα σημεία Α και Β , θα φέρουμε καθέτους προς την ευθυγραμμία ΧΧ' και θα έχουμε τα σημεία Α' και Β' ( σχήμα ) .

Από τυχαίο σημείο Ο της ευθυγραμμίας ΧΧ' , θα δημιουργήσουμε τις νοητές ευθυγραμμίες ΑΟ και ΒΟ .

Πάνω σε αυτές θα πάρουμε αντίστοιχα , τα σημεία Λ και Μ .

Από τα σημεία Λ και Μ , θα χαράξουμε καθέτους στην ευθυγραμμία ΧΧ' , δημιουργώντας τα τμήματα ΛΛ' και ΜΜ' .

Θα μετρήσουμε τις αποστάσεις , ΛΛ' - Α'Ο - Λ'Ο - ΜΜ' - Β'Ο - Μ'Ο και Α'Β' .

Από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΑ'Ο και ΛΛ'Ο - ΒΒ'Ο και ΜΜ'Ο , ισχύει :

ΑΑ' = ΛΛ' * Α'Ο / Λ'Ο και ΒΒ' = ΜΜ' * Β'Ο / Μ'Ο ⇒ ΑΒ = √ ( Α'Β' ² + ( ΑΑ' - ΒΒ' ) ² )

2ος ΤΡΟΠΟΣ

Σ' αυτήν τη μέθοδο , θα ορίσουμε δύο τυχαία σημεία Κ και Λ από την πλευρά που θα εργαστούμε .

Θα μετρήσουμε , όπως φαίνεται και στο σχήμα , την απόσταση ΚΛ και τις γωνίες η , θ , ω , φ . Ισχύει :

τρίγωνο ΑΚΛ : ΑΚ = ΚΛ * ημφ / ημ ( ( η + θ ) + φ ) τρίγωνο ΒΚΛ : ΒΚ = ΚΛ * ημ ( ω + φ ) / ημ ( ( ω + φ ) + θ ) ΑΒ = √ ( ΑΚ ² + ΒΚ ² - ( 2 * ΑΚ * ΒΚ * συν η ) )

3ος ΤΡΟΠΟΣ

Τα τοπογραφικά όργανα που διαθέτουμε είναι , ακόντια , μετροταινία και ορθόγωνο .

Θα ορίσουμε μια τυχαία ευθυγραμμία ΧΧ' .

Χρησιμοποιώντας το ορθόγωνο και κινούμενοι πάνω στην ευθυγραμμία ΧΧ' , θα φέρουμε καθέτους από τα σημεία Α και Β .

Θα δημιουργήσουμε τα τμήματα ΑΙ και ΒΚ .

Θα βρούμε εύκολα το μέσον της ΙΚ , έστω Μ .

Η τομή των ευθυγραμμιών , από την επέκταση των ΑΜ και ΒΚ θα ορίσουν το Β' .

Αντίστοιχα , η τομή των ευθυγραμμιών , από την επέκταση των ΒΜ και ΑΙ θα ορίσουν το Α' .

Λόγω ισότητας τριγώνων , θα είναι ΑΒ = Α'Β' .

Αντί να μετρήσουμε την ΑΒ , θα μετρήσουμε την Α'Β' .